Beweis bei Tausch von Variablen?

Wie zeigt man bei solchen Termen, dass ein Variablentausch das Ergebnis nicht beeinflusst?

Indem du die Variablen tauscht und (beispielsweise durch Umformung mit entsprechenden Rechenregeln) zeigst, dass der neue Term äquivalent zum alten Term ist. [Und das für alle möglichen Vertauschungen.]

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Beispiel:

Wenn man x mit y vertauscht...



[Kommutativität der Multiplikation]



[Kommutativität der Addition]



Vertauschen von x mit y liefert also wieder den gleichen Term wie zuvor.

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Und das musst du nun mit allen möglichen Permutationen von x, y, z zeigen.

Also für x ↔ y, x ↔ z, y ↔ z, x → y → z → x, x → z → y → x.

... wobei es jedoch reicht, wenn du neben x ↔ y noch denn Fall x ↔ z zeigst und dann darauf hinweist, dass sich...

• y ↔ z auch als Kombination der Vertauschungen x ↔ y und x ↔ z darstellen lässt.
• x → y → z → x auch als Kombination der Vertauschungen y ↔ z und dann x ↔ y darstellen lässt.
• x → z → y → x auch als Kombination der Vertauschungen y ↔ z und dann x ↔ z darstellen lässt.

Du meinst das z.b.:

(1+yz)/(1+x²) gleich (1 + zx)/(1+y²) ist?

Erteinmal würde ich es grundlegend probieren.

x = 1

y = 2

z =3

(1 + 2 *3)/(1 + 1²) = (1 + 3*1)/(1+2²)

6/2 = 4/5

Ok. Damit hat sich der beweis erledigt. Die aussage ist wiederlegt. Ein Variablen Tausch ändert etwas.

Was du hier eigentlich nur Tauschen darfst sind z.b. im ersten summanden das y und z

also yz = zy

genauso kannste auch summanden tauschen.

1 + yz = yz +1 = zy + 1 etc.

Das ganze ergibt sich aber schlichtweg aus den rechenregeln für Produkte udn Summen.

Vieleicht solltest du eventuell noch genauer beschreiben was du machen willst.

Generell kannste aber zumindest versuchen das ganze mit einem Trivialbeispiel zu belegen wie ich das gemacht habe. Das sagt einem nicht unbedingt ob man das wirklich in allen fällen darf. Aber es kein einem aufzeigen das man es definitiv nicht in allen fällen darf.