Wie sagt man das auf Japanisch?

よろしくお願いします kannst und solltest du gegenüber jedem benutzen, den du triffst. Das ist selbst bei Gleichaltrigen angemessen.

Wie schon auf Noeru kommentiert, benutzt man die Anrede さん niemals für sich selbst. Man redet andere mit さん an, zum Beispiel おかあさん, やまださん, usw.

Ob du dich mit Vornamen und/oder Nachnamen vorstellst, ist (in diesem Kontext) dir überlassen. Formal stellt man sich mit Nachname und Vorname vor, aber in diesem Fall wäre es aufgrund der Situation verzeihlich, dies nicht zu tun, und sei es aus Aufregung. Bedenke, dass Japaner nicht an deutsche Namen gewöhnt sind und nicht beurteilen können, ob das, was du gesagt hast, dein Vor- oder Nachname oder beides war, in welcher Reihenfolge und wo was anfängt und aufhört. Du solltest dir außerdem schon mal überlegen, wie du gerufen werden möchtest und dies in deine Selbstvorstellung einbauen.

Beim Treffen mit der Gastfamilie ist diese Vorstellung dann vielleicht schon ausreichend; für die Schule solltest du dir aber noch etwas mehr überlegen, wenn möglich. Es kann sein, dass du dich vor der ganzen Schule vorstellen musst, auf einer Bühne. Wenn du dann kurz „Hallo ich bin XY, freut mich euch kennenzulernen!“ zum Besten gibst und gleich wieder abzuckelst, könnte das ein bisschen... kurz angebunden wirken.

-san ist richtig.

よろしくお願いします sagt man, soweit ich weiß, nach der Vorstellung, also zB 私の名前は <Nachname>, <Vorname>. よろしくお願いします".