Mathe Projektion in eine Dreieck?
Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A(0;1), B(5;3) und C(2;8). Finden Sie die Projektion von Punkt A auf der Linie BC und ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks.
2 Antworten
Die Gerade durch B und C lautet:
g(r) = B + r*(C-B) = (5,3) + r*(-3,5)
Eine dazu senkrechte Gerade durch den Punkt A lautet
h(s) = A + s*(N)
Der Richtungsvektor N = (nx,ny) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor von g Deshalb muss gelten:
-3*nx + 5*ny = 0
Das ist z.B. für nx=5 und ny=3 der Fall.
h(s) = (0,1) + s*(5,3)
Schnittpunkt von g und h:
g(r) = h(s)
5 - 3r = 0 + 5s
3 + 5r = 1 + 3s
Lösung r = 5/34, s = 31/34
A' = g(5/34) ~ (4.56, 3.74 )
Die Fläche des Dreiecks ist dann (Abstand BC)*(Abstand AA')*1/2 = 15.5
Die Fläche lässt sich auch einfacher berechnen. Diese ist das Kreuzprodukt der Vektoren von A nach B und von A nach C:
1/2*(B-A)x(C-A) = 1/2*(5,2)x(2,7) = 1/2*(35 - 4) = 1/2*31 = 15.5
Und was genau willst du nun wissen? Hast du schon mal an eine Skizze gedacht (was ja im zweidimensionalen Fall nicht soooooo schwierig ist)? Suche die Gerade die senkrecht auf BC steht und durch A geht. Verwende dabei als Aufpunkt A. Berechne den Schnittpunkt S der Geraden mit BC und berechne dann die Länge h von AS. Berechne die Länge a von BC (warum nehme ich gerade diese Buchstaben?).
F = a*h/2
Alternativ, falls ihr noch keine Vektoren hattet: Berechne die Steigung m von BC mit HIlfe des STeigungsdreiecks. Die Steigung einer linearen Funktion die senkrecht auf BC steht ist n = -1/m. Berechne die Funktionsgleichung der linearen Funktion
g(x) = n*x + b
so dass diese durch A geht. Bei der Berechnung der Längen von a und h hilft dir der Satz des Pythagoras.