An der Stelle, wo Du von 0x die 0,5x abziehst, hast Du einen Vorzeichenfehler: es muss -0,5x heißen. Dann kommt bei der letzten Division am Ende -0,5 raus, und das ergibt mit (x-2) multipliziert -0,5x+1 und somit kommst Du am Ende auch auf Rest 0.

Fakt ist: ist x0 eine Nullstelle eines Terms, dann ergibt die Division dieses Terms durch (x-x0) IMMER Rest 0, ansonsten ist (wie hier bei dir) etwas schief gelaufen!

Graphisch betrachtet:

2ab= 2 * (ab). ab ist geometrisch gesehen (auf die abgebildete Figur bezogen) ein Rechteck mit der Breite a und der Höhe b. Und das ganze zweimal, d. h. 2ab ist die Fläche der beiden übereinanderliegenden Rechtecke unten links.

Hinzuaddiert wird 2b², d. h. die beiden Quadrate mit Seitenlänge b rechts neben diesen beiden Rechtecken.

Betrachtest Du nun diese Gesamtfläche (also die beiden Rechtecke plus der beiden Quadrate), dann hat dieses große Rechteck die Breite a+b und die Höhe 2*b, also:

2ab+2b² = 2b * (a+b)

mathematisch betrachtet:

der Term 2ab+2b² besteht aus 2 Summanden (2ab und 2b²), die beide die Faktoren 2 und b enthalten, d. h. man kann diese ausklammern; in der Klammer bleiben dann als Summanden die nicht ausgeklammerten Faktoren übrig, also:
2ab+2b² = 2b * (a+b)
[wenn Du aus 2ab die 2 und das b "wegstreichst", bleibt a übrig, und von 2b²=2bb bleibt ein b übrig, wenn Du 2 und b wegnimmst]

Um etwas über die Monotonie einer Funktion aussagen zu können, leitest Du die Funktion ab und prüfst, in welchen Bereichen die Ableitung (=Steigung der Funktion) größer bzw. kleiner Null ist.

Hier ergibt die Ableitung: (ich würde den Funktionsterm etwas umschreiben, um die Produktregel statt Quotientenregel zu nutzen)

f(x)=4x * (x²-4)^(-1)

f'(x)=4 * (x²-4)^(-1) + 4x * (-1) * (x²-4)^(-2) * 2x = 4/(x²-4) - 8x²/(x²-4)²

= {vorderen Bruch mit (x²-4) erweitern um beide Brüche zusammenfassen zu können} [4(x²-4)-8x²]/(x²-4)² = 4 (x²-4-2x²)/(x²-4)² = 4(-x²-4)/(x²-4)² = -4(x²+4)/(x²-4)²

Wenn Du dir diesen Term genauer anschaust, wirst Du erkennen, dass die Klammern immer positiv sind, und somit der Ableitungsterm wegen des Minuszeichen vorne daher immer negativ ist, d. h. es gilt hier f'(x)<0 für alle x. Somit ist f streng monoton fallend über dem gesamten Definitionsbereich.

Der Ast von A nach N hat die Wahrscheinlichkeit 88/99 (=8/9) - da hast du dich verschrieben.

Ich würde die Wahrscheinlichkeiten aber noch kürzen, da wo es möglich ist, um die Zahlen kleiner zu kriegen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades erhältst du durch Multiplikation der beiden zugehörigen Ast-Wahrscheinlichkeiten.

Bei b) bis f) musst Du nun überlegen welche Pfade in Frage kommen und deren Wahrscheinlichkeiten addieren.

Einfach nur Lösungen nennen ist nicht...

"Mathematisch" würde man das natürlich anders notieren (immer mit dem "lim" vorab), aber die Vorgehensweise und das Ergebnis stimmen.

Du hast hier eine Funktion mit (be-)hebbarer Definitionslücke bei x=0. Indem Du das x rauskürzt erhältst Du eine Gerade (Term in Normalform umgestellt: f(x)=-1/2x+1), nur dass halt in diesem Fall der Punkt (0|1) nicht existiert, weil die "ungekürzte" Funktion für x=0 nicht definiert ist.

D. h. der ursprüngliche Hochpunkt (0|6) soll nach der Transformation bei (0|4) liegen, d. h. der Graph muss 6 Einheiten nach unten und 4 Einheiten nach rechts verschoben werden.

Verschiebung in y-Richtung erreichst Du, indem Du einfach die Einheiten (hier -6, weil nach unten) zum Funktionsterm hinzuaddierst.

Einen Graphen verschiebst Du um k Einheiten nach rechts, indem Du jedes x im Funktionsterm durch (x-k) ersetzt.

D. h. aus f(x)=3x³-7x²+6 wird durch Verschiebung um 6 Einheiten nach unten und 4 Einheiten nach rechts: g(x)=3(x-4)³-7(x-4)²+6-6=3(x-4)³-7(x-4)²

Du kannst doch nicht einfach x² kürzen!?! In Zähler und Nenner steht dieses x² jeweils in einer Summe!

Stattdessen klammerst Du im Nenner die 3 aus und kürzt dann den dadurch entstehenden Term (x²+1).

Das erste was man prüft ist, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Wenn ja, dann sind die Geraden entweder parallel (und es gibt keine Lösung) oder identisch (unendlich viele Lösungen); wenn nicht, wie in Deinem Fall, dann haben sie entweder einen Schnittpunkt (eindeutige Lösung) oder sind windschief (keine Lösung).

Einfach "ganz normal" loslegen...:

V=pi * Int(f(x)² dx) in den Grenzen 1 bis unendlich, wobei Du für die obere Grenze "unendlich" natürlich den lim nehmen musst. Letztendlich wirst Du auf eine konkrete Zahl für das Volumen kommen.

Bei der ersten Aufgabe hast Du bei a) und b) vom Zylinder die Mantelfläche M und den Radius r gegeben. Die Aufgabenstellung ist nicht komplett erkennbar - ich gehe mal davon aus, dass nur die Höhe h berechnet werden muss.

Oben drüber steht als erstes die Formel für die Mantelfläche: M=2πrh. Diese Formel wirst Du wahrscheinlich auch nicht auswendig können müssen, sondern sie wird angegeben oder ihr dürft evtl. eine Formelsammlung nutzen, aus der Du diese Formel raussuchen kannst.

Da nun von den drei Größen M, r und h aus der Formel M und r bekannt sind, musst Du diese Formel nach h umstellen. Ist das das Problem? Damit h alleine steht, musst Du auf beiden Seiten durch die übrigen Faktoren teilen, also durch 2, π und r:

M=2πrh |:(2πr)

M/(2πr)=2πrh/(2πr) | rechts 2,π und r wegkürzen, und es bleibt dort nur noch h übrig

M/(2πr)=h

Jetzt brauchst Du einfach nur noch die vorgegebenen Werte für M und r einsetzen und kannst leicht das h ausrechnen. Beim Eintippen in den Taschenrechner aber darauf achten nach dem geteilt-Zeichen eine Klammer zu setzen, sonst wird etwas falsches ausgerechnet!

Bei der nächsten Aufgabe sind die Oberfläche O und der Radius r gegeben. Jetzt suchst Du die Oberflächenformel raus: die Oberfläche besteht aus der Mantelfläche (Formel steht schon oben) und den beiden Kreisflächen (Grundflächen G) oben und unten am Zylinder.

also: O=2G+M

Und die Kreisfläche (diese sollte man auch ohne Formelsammlung kennen) lautet: O(Kreis)=πr², also hier jetzt: G=πr²

also: O=2G+M=2*πr² + 2πrh

Um jetzt an h zu kommen, musst Du 2πr² "nach links bringen", indem Du auf beiden Seiten 2πr² subtrahierst. Somit steht rechts die Mantelfläche 2πrh alleine. Jetzt wieder durch 2πr teilen (natürlich auf beiden Seiten) und h steht wieder alleine:

h=(O-2πr²)/(2πr)

Jetzt kannst Du die gegebenen Werte O und r einsetzen und h ausrechnen (wieder an die Klammern beim Eintippen denken!).

Du kannst Potenzen, die mutlipliziert/dividiert werden, zusammenfassen, wenn entweder die Basen oder die Exponenten gleich sind.

Bei der ersten Aufgabe kannst Du dafür sorgen, dass jeweils zwei Basen gleich sind, indem Du diese etwas umschreibst.

D. h. aus 4 machst Du 2² und aus 8 wird 2³ - somit erhältst Du 2 Potenzen mit Basis 2 und kannst diese somit problemlos zu einer Potenz zusammenfassen; die beiden anderen Potenzen bringst Du auf die Basis 5.

also: 4³*5^7*8^4*25³ = (2²)³ * (2³)^4 * 5^7 * (5²)³ = 2^6 * 2^12 * 5^7 * 5^6 = 2^18 * 5^13

Bei der nächsten Aufgabe könnte man aus der Division mit den Potenzen Multiplikationen machen, indem man die Basen zum Kehrwert nimmt, d. h. aus "/4³" wird "*(1/4)³" und aus "/(8/49)³" wird "*(49/8)³". Vorne kannst Du die 4en schon einmal "verrechnen" (hier könnte man bei 4³ wohl einfacher auf die Umwandlung in eine Multiplikation verzichten und das direkt mit der 4^4 zu 4(^1) kürzen. Hinten die Basen kann man zu einer großen Basis zusammenfassen (beide Potenzen haben denselben Exponenten) und dann die Brüche kürzen.

Bei der letzten die 9 in 3² wandeln und dann die Potenzgesetze anwenden...

Wurzel(1+2/n) bleibt doch unberührt. Nur der Faktor Wurzel(n) davor wird ausgeklammert (weil er in beiden Summmanden im Nenner vorkommt) und wird somit von Wurzel(1+2/n) "gelöst" und kommt vor die Klammer.

Wenn es Dir in Deinem Nachtrag darum geht, wie man das ausspricht, um es z. B. jemandem zu diktieren, dann ist das bei mathematischen Termen oft problematisch, und man muss evtl. "weiter ausholen" und den Term beschreiben um ihn eindeutig rüber zu bringen.

Bei 5^(x²) [kann man handschriftlich ohne Klammer schreiben] würde vielleicht noch richtig notiert werden wenn man sagt:"5 hoch" (evtl. kleine Pause) "x Quadrat"

Bei (5^x)² ist die Klammer auch handschriftlich nötig, da ohne die obere Variante angenommen wird. Hier kann die Aussprache "5 hoch x" (kleine Pause) "(zum) Quadrat" schon zu einer Fehlinterpretation führen und der "Schreibende" notiert 5^(x²). Hier würde ich sagen:"5 hoch x in Klammern zum Quadrat" oder beschreibender "5 hoch x und das Ganze dann nochmal hoch 2".

Bei z. B. Brüchen müsstest Du ja auch Klammern mit diktieren bzw. deutlich sagen, was in den Zähler und was in den Nenner gehört: (x-4)/(x²+1)

"x minus 4 durch x Quadrat plus 1" kann hier zu allen möglichen Varianten führen. So ein Bruch wird selbst hier schriftlich "gerne" schonmal ohne jede Klammer geschrieben: x-4/x²+1 und man soll dann erahnen, dass oben der Bruch gemeint ist... In so einem Fall muss man entweder die Klammern diktieren, oder, wenn der "Schreibende" es handschriftlich in sein Heft notiert (und nicht irgendwo eintippt), deutlich sagen, dass jetzt ein Bruch kommt und klar ansagen/beschreiben, was im Zähler und was im Nenner steht.

Im Abschnitt über der Aufgabe, den Du uns vorenthältst, ist beschrieben wie "diese Nummer funktioniert"...

Du bringst den Vektor AB auf die Länge 1, indem Du durch seine Länge dividierst, und multiplizierst mit der gewünschten Länge. Den zweiten Vektor mit gleicher Länge erhältst Du, indem Du den zuerst ermittelten Vektor mit -1 multiplizierst.

Beispiel a)

Vektor AB=(3 13) => Länge AB=√(3²+13²)=√178

Vektor mit Länge √1602:

√1602 * 1/√178 * (3 13) = 3 * (3 13) = (9 39)

Probe: Länge (9 39)=√(9²+39²)=√1602

zweiter Vektor mit gleicher Länge: -1 * (9 39) = (-9 -39)

Wenn die Gerade g in der Nachfrage korrekt wiedergegeben wurde, dann gibt es bei c) einen Schnittpunkt, alle anderen Geraden h sind windschief zu g.

Bei keiner der Geraden h ist der Richtungsfaktor ein Vielfaches von dem Richtungsvektor von g, somit können keine Geradenpaare parallel oder identisch sein!

a) mit "modellieren" ist einfach nur gemeint, Du sollst die Aufgabenstellung als binomialverteilt ansehen, d. h. dass für jede Buchung dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,88 angenommen werden soll, dass die getätigte Buchung auch wahrgenommen wird (in der Praxis hängen Buchungen natürlich auch voneinander ab: wenn z. B. Dein Partner/Partnerin einen Urlaub nicht antreten kann, wirst Du höchstwahrscheinlich nicht alleine fahren sondern auch stornieren...)

D. h. Du sollst nun P(X>360) ermitteln mit n=400 und p=0,88.

b) hier sollst Du ausrechnen, in welchem Intervall die Anzahl der wahrgenommenen Buchungen mit 90%iger Wahrscheinlichkeit liegen wird.

Sigma (σ) ist die Standardabweichung und bei der Binomialverteilung: σ=√(np(1-p))

Gemäß den Sigma-Regeln liegen 90% aller Werte im Bereich 1,64σ um den Erwartungswert herum, also im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ]

bedeutet für (1) n=375:

μ=n*p=375*0,88=330; σ=√(375*0,88*0,12)=6,29

=> [330-1,64*6,29;330+1,64*6,29]=[319,68;340,32]

D. h. bei 375 Buchungen liegt mit 90%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der wahrgenommenen Buchungen zwischen 320 und 340.

c) hier kommt wieder die 90%-Sigma-Regel zum Einsatz (wenn die "rechten" 5 % der Kurve rausfallen (X>...), dann auch die linken 5 %)

D. h. P(X>360) bedeutet P(X>μ+1,64σ),

d. h. μ+1,64σ=360, also hier 0,88n+1,64*√(n*0,88*0,12)=360.

Das sollst Du nun nicht ausrechnen, sondern dich durch probieren (einsetzen verschiedener n's) an die 360 "ranarbeiten".

Kannst ja dann anschließend die Probe mit diesem n machen, ob tatsächlich P(X>360)=5% ergibt - hab's jetzt selbst nicht durchgerechnet, aber meine theoretische Herangehensweise sollte eigentlich auch in der Praxis funktionieren...

3a) Stelle aus der gegebenen Gleichung mit den gegebenen Vektoren ein Gleichungssystem auf und löse dieses.

b) Gibt es eine Linearkombination der 3 Vektoren, die den Nullvektor (0 0 0) ergibt, dann sind die 3 Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig. Also wieder Gleichungssystem aufstellen wie bei a), nur eben nicht "gleich Vektor a", sondern "=(0 0 0)".

4) gleiche Vorgehensweise wie bei 3)

Berechne zuerst die Fläche des sin von 0 bis π.

3:4 bedeutet, dass der Schnitt bei 3/7 dieser Fläche sein muss, d. h. das Integral von 0 bis zur gesuchten Grenze muss 3/7 der sin-Fläche von 0 bis π betragen.

Bei b) hätte ich zuerst mit 3 multipliziert, um links den Faktor 1/3 loszuwerden, somit sparst Du Dir auch das Ausmultiplizieren!

Dann geht's mit *4 weiter, um beide Brüche loszuwerden, d. h. man muss nicht mit Brüchen rechnen.

Zwischenstand: x+2=60. Der Rest sollte nun wirklich kein Problem mehr sein. Abschließend natürlich die Probe machen, indem Du die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzt und schaust ob links 5 rauskommt, wie auf der rechten Seite.

Bei d) kommst Du nach korrektem Ausmultiplizieren links und richtiger Anwendung der ersten binomischen Formel rechts auf:

x²+7x+6=x²+6x+9.

Durch -x² verschwindet auf beiden Seiten x². Und mit -6x und -6 bist Du schon bei Lösung.

Bei den Strahleinsätzen werden gewisse Teilstrecken zueinander ins Verhältnis gesetzt, wobei die nicht parallelen Strecken beim Schnittpunkt der Strahlen beginnen. Und da liegt wohl hier das Problem: so wie es hier skizziert ist gibt es keinen Schnittpunkt.

Den Schnittpunkt erreichst Du aber, wenn Du den Boden auf die Augenhöhe von Fin verschiebst, d. h. 1,75 m weiter nach oben; somit wird aus der 3 m-langen Parallele eine 3-1,75 m=1,25 m Parallele.

Jetzt kannst Du den zweiten Strahlensatz nutzen: das Verhältnis der beiden Parallelen ist das gleiche wie das der entsprechenden Strecken auf den Strahlen, also hier:

h:1,25=(10,6+1,8):1,8

also: lange Parallele zu kurze Parallele wie lange Strecke zu kurze Strecke.

Jetzt das h ausrechnen, aber Achtung: da Du den Boden verschoben hast, ist h die Höhe von Fins Augenhöhe bis zur Dachspitze, d. h. Du musst zu h noch 1,75 m hinzuaddieren um die gesuchte Haushöhe zu erhalten.