Zahlen unter 2016 mit Quersumme von 7?
Wie viele ganze positive Zahlen unter 2016 haben eine Quersumme von 7?
Danke im Voraus? 😁
3 Antworten
Falls du nur die positiven meinst, wären das 66 Stück:
- 7
- 16
- 25
- 34
- 43
- 52
- 61
- 70
- 106
- 115
- 124
- 133
- 142
- 151
- 160
- 205
- 214
- 223
- 232
- 241
- 250
- 304
- 313
- 322
- 331
- 340
- 403
- 412
- 421
- 430
- 502
- 511
- 520
- 601
- 610
- 700
- 1006
- 1015
- 1024
- 1033
- 1042
- 1051
- 1060
- 1105
- 1114
- 1123
- 1132
- 1141
- 1150
- 1204
- 1213
- 1222
- 1231
- 1240
- 1303
- 1312
- 1321
- 1330
- 1402
- 1411
- 1420
- 1501
- 1510
- 1600
- 2005
- 2014
Ich habe ein Programm geschrieben, das alle Zahlen durchprobiert.
Hättest du auch einen anderen Lösungsweg. Wenn nicht ist auch nicht schlimm.
Von 0 bis 99 gibt es 8 Zahlen mit Quersumme 7. Von 100 bis 199 gibt es 7 Stück. Von 200 bis 299 gibt es 6 Stück etc. Daraus lässt sich eine Regel konstruieren:
N = (8 + … + 1) + (7 + … + 1) + 2 = (8·9/2) + (7·8/2) + 2 = 66
Die erste Klammer ist für 0…999, die zweite für 1000…1999, und das +2 ist für 2000…2016.
Ich glaube, dass ist die Lösung. Ich mache den Beweis dann morgen.
Einstellig gibt es immer nur eine Zahl.
Zweistellige gibt es so viele wie die Quersumme die man möchte. Bei 7 gibt es also 7 Zahlen.
Dreistellig gibt es so viele wie die Dreieckszahlen für n=Quersumme. Bei 7 sind es also 28.
Vierstellig gibt es die Summe der Dreieckszahlen bis zu Dreieckszahl für n=Quersumme. Bei 7 sind es also 84
Also in diesem Fall:
Einstellig 1
Zweistellig 7
Dreistellig 28
Ergibt bis hier 36.
Für Vierstellig brauchen wir nicht alle. Also können wir es zerlegen. Für jeden 1000-der steht eine Dreieckszahl. Also bei Vierstellig mit 1 am Anfang gibt es 28, mit 2 am Anfang 21, etc.
Also können wir hier 28 hinzuzählen und bekommen 64.
Nun fehlen noch die Vierstelligen mit 2 am Anfang und kleiner 2016. Können hier also nur 2005 und 2014 sein.
Ergibt gesamthaft 66 Zahlen.
Das hört sich interessant an. Danke für die Antwort. Wissen sie warum das so ist?
Kann keine mathematische Gesetzmässigkeit daraus formulieren. Aber wenn man nach Gauss und Quersummen recherchiert bin ich davon überzeugt, dass man etwas findet.
7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 4 + 3 = 4 + 2 + 1 = 4 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2
Jetzt bilde alle entsprechenden Zahlen bis 2016, allenfalls mit Null ergänzt.
Vielen Dank😁. Was war dein Lösungsweg?