Wie kann man eine solche Mengengleichheit ohne Venn-Diagramm beweisen?
(x ∈ X ∧ x ∈ Y) ∨ x ∈ Z ⇔ x ∈ X ∨ (x ∈ Y ∧ x ∈ Z)
Kann ich das Distributivgesetz anwenden und schreiben:
(x ∈ Z ∨ x ∈ X) ∧ (x ∈ Z ∨ x ∈ Y) ⇔ (x ∈ X ∨ x ∈ Y) ∧ (x ∈ X ∨ x ∈ Z)
⇔
(x ∈ Z ∨ x ∈ Y) ⇔ (x ∈ X ∨ x ∈ Y)
Dann sieht man ja dass es auf der einen Seite wahr ist wenn x ∈ Z, und auf der anderen Seite falsch ist. Also können die Aussagen nicht äquivalent sein. Kann man das so beweisen?
1 Antwort
Ja, aber das geht schneller, wenn man
anschaut und dann die rechte Seite auf Falsch bzw. die linke Seite auf Wahr prüft.
Eigentlich sieht man das in deiner Lösung auch. Die Äquivalenz schlägt fehl, wenn x in Z, aber nicht in den zwei anderen Mengen ist. Also: x∈Z∖(X∪Y)
Und wie prüft man auf Wahr?
Wie man es in der Logik eben macht. Wenn x∈Z∖(X∪Y), dann ist x∈Z wahr, x∈X und x∈Y falsch.
Links steht (Falsch und Falsch) oder Wahr => Wahr
Rechts steht Falsch oder (Falsch und Wahr) => Falsch.
Aber man kann es auch so wie du machen.
Wie ist es bei X Δ (Y Δ Z) = (X Δ Y) Δ Z ?
Wenn ich versuche das zu beweisen, bekomm ich eine ewig lange Kette die immer noch länger wird wenn ich das Distributivgesetz anwende. Es scheint so als ob ich nie zu einem Ziel kommen würde.
Wie kommst du auf x∈Z∖(X∪Y)? Und wie prüft man auf Wahr?