Differentialrechnung Extremwertaufgaben?

Diagonale d soll minimal werden.

(1) d² = a² + b² → Min.

2 Unbekannte sind eine zuviel. Daher Nebenbedingung nutzen, um eine Unbekannte zu eliminieren:

Nebenbedingung:

(2) A = a * b ⇔ a = A / b

(2) in (1):

d²(b) = (A² / b²) + b²

Ableiten und Minimum bestimmen:

(d²(b))' = (A² * (-2) / b³) + 2 * b

(d²(b))' = (-2 * A² / b³) + 2 * b

0 = (-2 * A² / b³) + 2 * b

2 * A² = 2 * b⁴

b² = A

b = √A = a

Prüfung zweite Ableitung:

(d²(b))'' = (-2 * A² * (-3) / b⁴) + 2 = (6 * A² / b⁴) + 2 (> 0, also Minimum)

Die Diagonale ist minimal, wenn es sich um ein Quadrat handelt.

Hallo,

als erstes macht man eine Zeichnung - immer!!!!

Rechteck mit den Seiten a und b. Fläche gleich a*b.

Diagonale ist nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus (a²+b²).

Wenn a²+b² minimal werden, ist es auch die Wurzel aus ihnen.

Es reicht daher, a²+b² zu minimieren unter der Bedingung, daß a*b einen vorgegebenen Wert ergeben, also die Fläche des Rechtecks. Sollte die Fläche nicht näher bestimmt sein, setzt Du sie einfach gleich 1, also F=1.

Die Nebenbedingung ist dann a*b=1, also b=1/a.

Minimiert werden soll a²+b² und da b=1/a, kann man daraus a²+(1/a)² machen.

Abgeleitet nach a ergibt das F'(a)=2a-2/a³.

F'(a) gleich Null setzen:

2a-2/a³=0 |:2
a-1/a³=0 |*a³
a^4-1=0 |+1
a^4=1

a=-1 oder a=1.

-1 scheidet als Lösung aus, da man wohl kaum ein Rechteck mit negativen Seitenlängen finden wird.

Also a=1 und da b=1/a, ist b auch gleich 1.

Es muß für die minimale Diagonale bei gegebener Fläche also gelten: a=b=1.

Ein Rechteck mit den Seiten a und b, bei denen a=b, ist ein Quadrat.

Das Quadrat ist also von allen flächengleichen Rechtecken das mit der kleinsten Diagonale.

Herzliche Grüße,

Willy